Matematika Jitu

Soal: Diberikan empat matriks $A, B, C, D$ berukuran $2\times 2$ dengan $A+CB^{T}=CD.$ Jika A mempunyai invers, $det(D^{T}-B)=m$ dan $det(C)=n$, maka $det(2A^{-1})=....$ A. $\frac{4}{mn}$ B. $\frac{mn}{4}$ C. $\frac{4m}{n}$ D. $4mn$ E. $\frac{m+n}{4}$ Pembahasan: Ingat $|D^{T}-B|=|B-D^{T}|$ $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ $|k.A|=k^{n}.|A|$ Dengan demikian diperoleh \begin{align*} A+CB^{T}&=CD\\ A&=CD-CB^{T}\\ A&=C(D-B^{T})\\ |A|&=|C||D-B^{T}|\\ |A|&=nm. \end{align*} Jadi \begin{align*} |2A^{-1}|&=2^{2}.\frac{1}{|A|}\\ &=\frac{4}{nm}. \end{align*} Jawaban: A

Soal: Jika $p$ dan $q$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-7x+1=0$, maka persamaan yang akar-akarnya $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $p^{2}+q^{2}$ adalah .... A. $x^{2}-50x+131=0$  B. $x^{2}-50x+138=0$ C. $x^{2}-50x+141=0$ D. $x^{2}-51x+141=0$ A. $x^{2}-51x+148=0$ Pembahasan: Misalkan $\alpha=\sqrt{p}+\sqrt{q}$ dan $\beta=p^{2}+q^{2}$, maka \begin{align*} \sqrt{p}+\sqrt{q}&=\sqrt{p+q+2\sqrt{pq}}\\ &=\sqrt{7+2\sqrt{1}}\\ &=\sqrt{9}\\ \alpha&=3. \end{align*} \begin{align*} p^{2}+q^{2}&=(p+q)^{2}-2pq\\ &=7^{2}-2\\ &=47\\ \beta&=47. \end{align*} Ingat Persamaan kuadrat yang akarnya $\alpha$ dan $\beta$ adalah $x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0$ Jadi diperoleh persamaan kuadrat \begin{align*} x^{2}-(3+47)x+47.3&=0\\ x^{2}-50x+141&=0. \end{align*} Jawaban: C

Berikut ini pembahasan soal TPS SBMPTN 2019 1. Soal: Di dalam lingkaran besar terdapat dua lingkaran kecil identik yang saling bersinggungan di pusat lingkaran besar seperti pada gambar. Kemudian lingkaran kecil menyinggung lingkaran besar. Jika jari-jari lingkaran kecil adalah 2, maka luas daerah yang diarsir adalah .... A. $4\pi$ B. $8\pi$ C. $10\pi$ D. $12\pi$ E. $16\pi$  Pembahasan: Jari-jari lingkaran kecil adalah 2, maka jari-jari lingkaran besar adalah 4. Luas lingkaran kecil adalah $\pi \times 2^{2}=4\pi.$ Luas lingkaran besar adalah $\pi \times 4^{2}=16\pi.$ Luas yang diarsir adalah $16\pi - 8\pi=8\pi.$ Jawaban: B 2. Soal: Bilangan lima angka yang dapat dibentuk dari angka 2, 4, dan 8 dengan angka 4 dan 8 yang muncul tepat dua kali ada sebanyak .... A. 4 B. 30 C. 60 D. 100 E. 120 Pembahasan: Ingat rumus permutasi dengan unsur yang sama $P=\frac{n!}{k!.l!.m!}$ dengan: $n=$ banyak unsur $k,l,m=$ unsur yang sama Karena angka 4 dan 8 muncul tepat dua kali, maka unsur yang s

1. Soal: Operasi $\odot$ pada himpunan  bilangan bulat didefinisikan dengan atran: $a \odot b=b(a+1)-a$. Nilai $2\odot (1 \odot 3)$ adalah .... A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 E. 13 Pembahasan : \begin{align*} 2\odot (1 \odot 3)&=2\odot (3(1+1)-1)\\ &=2\odot 5\\ &=5(2+1)-2\\ &=13. \end{align*} Jawaban: E 2. Soal: Hasil pengurangan $\frac{3x+y}{3}$ oleh $\frac{y-2x}{2}$ adalah .... A. $\frac{12x-y}{6}$ B. $\frac{12x+y}{6}$ C. $\frac{-12x+y}{6}$ D. $\frac{3x+8y}{6}$ E. $\frac{3x-2y}{6}$ Pembahasan: \begin{align*} \frac{3x+y}{3}-\frac{y-2x}{2}&=\frac{2(3x+y)-3(y-2x)}{6}\\ &=\frac{6x+2y-3y+6x}{6}\\ &=\frac{12x-y}{6}. \end{align*} Jawaban: A

1. Soal: Nilai 10 dalam segitiga P adalah hasil operasi aritmetik semua bilangan di luar segitiga P. Dengan menggunakan pola operasi aritmetik yang sama, nilai dalam segitiga Q yang paling tepat adalah .... A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 E. 24 Pembahasan: Nilai 10 dalam segitiga P berasal dari $\frac{30}{2}-5$, maka nilai dalam segitiga Q adalah $\frac{45}{3}-9=6.$ Jawaban: A 2. Soal: Nilai 23 dalam segiempat A adalah hasil operasi aritmetik semua bilangan di luar segiempat A. Dengan menggunakan pola operasi aritmetik yang sama, nilai dalam segiempat B yang paling tepat adalah .... A. 2 B. 16 C. 28 D. 62 E. 68 Pembahasan: Nilai 23 dalam segiempat A berasal dari $(7\times 5)-(4\times 3)$, maka dengan pola yang sama nilai dalam segiempat B adalah $(5\times 8) - (4\times 6)=16.$ Jawaban: B