Soal:
Diberikan empat matriks $A, B, C, D$ berukuran $2\times 2$ dengan $A+CB^{T}=CD.$ Jika A mempunyai invers, $det(D^{T}-B)=m$ dan $det(C)=n$, maka $det(2A^{-1})=....$
A. $\frac{4}{mn}$
B. $\frac{mn}{4}$
C. $\frac{4m}{n}$
D. $4mn$
E. $\frac{m+n}{4}$

Pembahasan:


Ingat
  • $|D^{T}-B|=|B-D^{T}|$
  • $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
  • $|k.A|=k^{n}.|A|$


Dengan demikian diperoleh
\begin{align*}
A+CB^{T}&=CD\\
A&=CD-CB^{T}\\
A&=C(D-B^{T})\\
|A|&=|C||D-B^{T}|\\
|A|&=nm.
\end{align*}
Jadi
\begin{align*}
|2A^{-1}|&=2^{2}.\frac{1}{|A|}\\
&=\frac{4}{nm}.
\end{align*}
Jawaban: A