1. UM UGM 2018 MAT IPA KODE 575
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+px+27=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ yang semuanya positif dan $x_2>x_1$. Jika $x_1,x_2$ dan $5x_1$ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku ke sepuluh adalah ...
A. 55
B. 57
C. 59
D. 61
E. 63

Jawab B
Pembahasan :

INGAT
Rumus suku tengah barisan aritmetika $U_t=\frac{a+U_n}{2}$

Dengan menggunakan rumus suku tengah diperoleh
\begin{align*}
2x_2&=x_1+5x_1\\
2x_2&=6x_1\\
x_2&=3x_1.
\end{align*}

Selanjutnya
INGAT
Rumus perkalian akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

sehingga diperoleh
\begin{align*}
x_1x_2&=27\\
x_1(3x_1)&=27\\
x_1^{2}&=9\\
x_1&=\pm 3.
\end{align*}

Karena $x_1$ dan $x_2$ positif maka $x_1=3$ dan $x_2=9$, sehingga diperoleh barisan $3,9,15,...$ dengan $a=3$ dan $b=6$. Jadi $U_{10}=a+(n-1)b=3+9(6)=57$.

2. UM UGM 2018 MAT IPA KODE 575
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10, dan jumlah suku-suku bernomer ganjil adalah 6. Suku ke-2 deret tersebut adalah ...
A. $\frac{20}{3}$
B. $\frac{20}{6}$
C. $\frac{20}{9}$
D. $\frac{20}{11}$
E. $\frac{20}{13}$

Jawab C
Pembahasan :

INGAT
$S_{ganjil}+S_{genap}=S_\infty$

sehingga diperoleh
\begin{align*}
6+S_{genap}&=10\\
S_{genap}&=4\\
\end{align*}

INGAT
$r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}$

diperoleh $r=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$
Dengan menggunakan rumus jumlahan deret geometri takhingga diperoleh
\begin{align*}
\frac{a}{1-r}&=10\\
\frac{a}{1-\frac{2}{3}}&=10\\
\frac{a}{\frac{1}{3}}&=10\\
a&=\frac{10}{3}.
\end{align*}
Jadi $U_2=ar=\frac{10}{3}\frac{2}{3}=\frac{20}{9}.$