Pembahasan soal SBMPTN 2018 TKD SAINTEK tentang suku banyak $($ polinomial $)$

1. $($ SBMPTN Kode 453 $)$ Sisa pembagian $p(x)=x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4$ oleh $x^{2}+1$ adalah $-5a+2$. Jika $p(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $-17$, maka $4ab=...$
A. -12
B. -9
C. -7
D. -6
E. -5

Jawab D
Pembahasan :

INGAT
$p(x)=$ Pembagi $\times$ Hasil bagi $+$ Sisa

Misal hasil baginya $=(x+n)$
$x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4=(x^{2}+1)(x+n)+(-5a+2)$
$x^{3}-ax^{2}-2bx-4a-4=x^{3}+nx^{2}+x+n-5a+2$
diperoleh
$-a=n$;

$-2b=1 \Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}$;

$-4a-4=n-5a+2$
$-4a-4=-a-5a+2$
$-4a-4=-6a+2$
$2a=6$
$a=3$
Jadi nilai $4ab=4(3)(-\frac{1}{2})=-6.$

2. $($ SBMPTN Kode 454 $)$ Sisa pembagian $p(x)=x^{3}+ax^{2}+4x+2b+1$ oleh $x^{2}+4$ adalah $b-3a.$ Jika $p(x)$ habis dibagi oleh $x+1,$ maka $a^{2}+b=...$
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
E. 9

Jawab C
Pembahasan :
Misal hasil baginya $=(x+n)$
$x^{3}+ax^{2}+4x+2b+1=(x^{2}+4)(x+n)+b-3a$
$x^{3}+ax^{2}+4x+2b+1=(x^{3}+nx^{2}+4x+4n+b-3a$
diperoleh
$a=n$;

$2b+1=4n+b-3a$
$2b+1=4a+b-3a$
$b+1=a$

Karena $p(x)$ habis dibagi oleh $x+1$, maka diperoleh
$p(-1)=0$
$-1+a-4+2b+1=0$
$a+2b=4$
$b+1+2b=4$
$3b=3$
$b=1$ sehingga $a=2$

Jadi nilai $a^{2}+b=2^{2}+1=5.$